Binary Diary

so beautiful beautifulさ

40人のクラスで同じ誕生日の人がいる確率は90%!?確率のふしぎ。

どうもこたにんです。

1クラスの中に同じ誕生日の人が1組はいる!?

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そういえば、こんなお話を知っていますか?

「1クラスの中に同じ誕生日の人が1組はいる」

だいたい1クラス40人くらいと考えて、同じ誕生日の人が1組いるという。
すごく、感覚的に、感じづらいものです。

だって、誕生日なんて、うるう年含めると366パターンあるんだよ?
その中の40パターンで、一致するはずないじゃんね?
って思うよね?

でも実はこれが、確率を計算すると納得せざるを得なくなるんですねえ。
というわけで本日は、クラスメイト誕生日問題で確率が楽しく思える記事です。

同じ誕生日になる確率は余事象を使って求める

ある人とある人が、同じ誕生日になる確率。
それは、簡単な数式で求められます。

1/366 = 0.0027

ある人と同じ誕生日になる確率は、閏日含めた366日のうちの1通りのみ。
ということでシンプルに割り算をすると、0.27%という数値になります。
言い換えると、99.23%の確率で、ふたりは誕生日が異なります。

余事象(ある事象が起こらない事象)という考え方です。
0.3%くらいで誕生日が同じだけど、99.7%くらいで誕生日は異なる。


では、ある3人組の中で、同じ誕生日の組ができる確率。

これは、先程の「余事象」を上手く使えば簡単に導くことができます。
すなわち、3人全員が誕生日が異なる確率を求めればよいのです。

366/366 * 365/366 * 364/366 = 0.9918

1人ずつ別々の誕生日になることから上の式になります。
3人全員が別々の誕生日になる確率はおよそ99.2%。

これは余事象なので、3人のうち誰かが同じ誕生日になる確率は0.8%となります。

今後のために、式を一般化しておきます。

R(n) = (367 - n)/366 * R(n-1)   (ただしn>0)

 

23人集まった途端、余事象が上回る

この計算をどんどん人数を増やして試行していきます。
そうすると、23人集まったところで、全員が異なる誕生日の確率が。。

366/366 * 365/366 * 364/366 ... * 344/366 = 0.4937

50%を下回るのです!!
ということは、23人集まったら、誰かしらのペアが誕生日になってる確率が高いわけです。
23人のグループが2つあったら、どちらかでは誕生日のペアがいてもおかしくないのです。

さらに計算を進めてみます。。。

40人を超えた途端、同じ誕生日のペアは生まれる

この計算、40人、41人集まると、こんな確率に。

R(40) = 0.109
R(41) = 0.097

これが何を示すかというと。
40人、41人集まっていると、その全員が誕生日が異なる確率は10%程度。
すなわち、およそ90%の確率で、誰かが誕生日が一緒となるわけです!!

これが冒頭に話したこと。

「1クラスの中に同じ誕生日の人が1組はいる」

の確率論的な解釈となります。
1クラスってだいたい40人くらいなので、まあ9割の確率で同じ誕生日の人がいるよね、って話。

ただしこれは「自分と同じ誕生日」ではないです。
お間違いのないように。

確率を求めてみると感覚を腹落ちさせられる

確率って、求めてみると良いものです。

なんとなく感覚で捉えているもの、感覚で受け入れづらいもの。
そういったものを数式にして、論理で理解することができる。
左脳人種の腹落ちのさせ方ですね。

というわけで。
クラスメイト誕生日問題から、確率の楽しさを語る記事でした。


それでは聴いてください。

A change of probability