どうもこたにんです。
1クラスの中に同じ誕生日の人が1組はいる！？
そういえば、こんなお話を知っていますか？
「1クラスの中に同じ誕生日の人が1組はいる」
だいたい1クラス40人くらいと考えて、同じ誕生日の人が1組いるという。
すごく、感覚的に、感じづらいものです。
だって、誕生日なんて、うるう年含めると366パターンあるんだよ？
その中の40パターンで、一致するはずないじゃんね？
って思うよね？
でも実はこれが、確率を計算すると納得せざるを得なくなるんですねえ。
というわけで本日は、クラスメイト誕生日問題で確率が楽しく思える記事です。
同じ誕生日になる確率は余事象を使って求める
ある人とある人が、同じ誕生日になる確率。
それは、簡単な数式で求められます。
1/366 = 0.0027
ある人と同じ誕生日になる確率は、閏日含めた366日のうちの1通りのみ。
ということでシンプルに割り算をすると、0.27%という数値になります。
言い換えると、99.23%の確率で、ふたりは誕生日が異なります。
余事象（ある事象が起こらない事象）という考え方です。
0.3%くらいで誕生日が同じだけど、99.7%くらいで誕生日は異なる。
では、ある3人組の中で、同じ誕生日の組ができる確率。
これは、先程の「余事象」を上手く使えば簡単に導くことができます。
すなわち、3人全員が誕生日が異なる確率を求めればよいのです。
366/366 * 365/366 * 364/366 = 0.9918
1人ずつ別々の誕生日になることから上の式になります。
3人全員が別々の誕生日になる確率はおよそ99.2%。
これは余事象なので、3人のうち誰かが同じ誕生日になる確率は0.8%となります。
今後のために、式を一般化しておきます。
R(n) = (367 - n)/366 * R(n-1) (ただしn>0)
23人集まった途端、余事象が上回る
この計算をどんどん人数を増やして試行していきます。
そうすると、23人集まったところで、全員が異なる誕生日の確率が。。
366/366 * 365/366 * 364/366 ... * 344/366 = 0.4937
50％を下回るのです！！
ということは、23人集まったら、誰かしらのペアが誕生日になってる確率が高いわけです。
23人のグループが2つあったら、どちらかでは誕生日のペアがいてもおかしくないのです。
さらに計算を進めてみます。。。
40人を超えた途端、同じ誕生日のペアは生まれる
この計算、40人、41人集まると、こんな確率に。
R(40) = 0.109
R(41) = 0.097
これが何を示すかというと。
40人、41人集まっていると、その全員が誕生日が異なる確率は10％程度。
すなわち、およそ90％の確率で、誰かが誕生日が一緒となるわけです！！
これが冒頭に話したこと。
「1クラスの中に同じ誕生日の人が1組はいる」
の確率論的な解釈となります。
1クラスってだいたい40人くらいなので、まあ9割の確率で同じ誕生日の人がいるよね、って話。
ただしこれは「自分と同じ誕生日」ではないです。
お間違いのないように。
確率を求めてみると感覚を腹落ちさせられる
確率って、求めてみると良いものです。
なんとなく感覚で捉えているもの、感覚で受け入れづらいもの。
そういったものを数式にして、論理で理解することができる。
左脳人種の腹落ちのさせ方ですね。
というわけで。
クラスメイト誕生日問題から、確率の楽しさを語る記事でした。
それでは聴いてください。
